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Tecma Drive S.L., referente en rodamientos de grandes dimensiones, necesita un método de cálculo para establecer las gráficas de la tornillería de las calidades 8.8, 10.9 y 12.9 en las curvas de momento-carga axial (M-Ra) de su catálogo. Desde Atreydes Ingeniería hemos desarrollado una hoja de cálculo dinámica que se adapta a las curvas M-Ra de los rodamientos del catálogo de Tecma Drive S.L. que sitúa los límites de las diferentes calidades de la tornillería existente teniendo en cuenta criterios de cálculo estático y de fatiga.
Cálculos
Para el calcular el límite de fatiga del material utilizaremos el apartado Estimación del límite de fatiga de nuestro prontuario Fatiga tomando como factor de concentración de tensiones ( k_f ) el valor de 0.33.
Es sabido que en tornillos se tienen concentraciones de tensiones en la cabeza del mismo y en la rosca cuando encuentra la tuerca. Este factor de concentración de tensiones de 3 para tornillos laminados y de 3.8 para tornillos mecanizados.
Esta concentración de tensiones no influye para cargas estáticas debido a que no se tiende a rebasar del límite elástico. En fatiga, y dado que es un procedimiento de cálculo a la rotura física del elemento, se tiene que rebasar el límite elástico para que se produzca el fallo, por lo que los concentradores de tensiones empiezan a entrar en el juego.
Para el cálculo de tornillos se utilizará un valor de concentración de 3 ya que la mayoría de tornillos se producen en serie mediante un proceso de laminado en frío siendo muy rara vez mecanizado ya que este proceso de manufactura es más costoso.
k_f = \Large \frac{1}{3} \normalsize = 0.33
Una vez establecidos los límites de fatiga a vida infinita (> 10^6 ciclos), se extrapola este valor para un número menor de ciclos para cargas puramente alternantes.
Cargas
Para el cálculo de fatiga se han tenido en cuenta las siguientes cargas:
- Momento alternante ( M ) en la corona del rodamiento que provoca en el tornillo una carga de tracción media (sigma m) y alternante (sigma a), debido a la aplicación de fuerzas externas cíclicas.
- Una carga axial de compresión constante ( R_a ) principalmente debida al peso propio de los elementos que soporta el rodamiento y que produce unas tensiones de compresión sobre los tornillos del rodamiento menores que las de tracción del momento alternante.
Dado que los tornillos solo trabajan a tracción, éstos solo soportan tensiones medias de tracción ( \sigma'_m ) y tensiones alternantes de tracción ( \sigma'_a ).
Puede deducirse que, para estado de cargas descrito, las tensiones de tracción que soportan los tornillos de la unión son:
\sigma'_a = \sigma'_m = \Large \frac{\sigma_a - \sigma_c}{2} \normalsize, para \sigma_a > \sigma_c
Donde:
- \sigma_a : tensión alternante producida por el momento
- \sigma_c : tensión de compresión producida por la carga axial constante.
Aunque en este proyecto se ha estudiado todas las combinaciones posibles entre la carga alternante producida por el momento y la carga de compresión producida por la carga axial, es la combinación descrita la que más valor tiene para Tecma Drive S.L. y, por lo tanto, la que mostramos en este blog.
Criterios de fatiga
Los criterios de fatiga reconocidos son los siguientes:
- Criterio de Soderberg
- Criterio de Goodman modificado
- Criterio de Gerber
- Criterio ASME-elíptica
Las ecuaciones de estos criterios se encuentran descritas en el apartado Esfuerzos fluctuantes de nuestro prontuario Fatiga.
Para este proyecto se ha tomado el criterio de Soderberg al ser el más restrictivo de todos, para estar por el lado de la seguridad:
\Large \frac{\sigma'_a}{S_e} \normalsize + \Large \frac{\sigma'_m}{S_y} \normalsize = 1
Sabiendo que:
\sigma'_a = \sigma'_m = \Large \frac{\sigma_a - \sigma_c}{2}
\sigma_a \Large \frac{4 M}{n \phi A_s}
\sigma_c \Large \frac{R_a}{n A_s}
Sustituyendo las tensiones por las cargas que las proporcionan en la ecuación del criterio de Soderberg tenemos que:
\sigma_a = \Large \frac{2 S_e S_y}{S_e + S_y} \normalsize + \sigma_c
\Large \frac{4M}{n \phi A_s} = \Large \frac{2 S_e S_y}{S_e + S_y} \normalsize + \Large \frac{R_a}{n A_s}
Reordenando términos, nos queda la recta que limita la tornillería a fatiga:
M = M* + \Large \frac{\phi}{4} \normalsize R_a
Donde:
M* = M_{Sod} = \Large \frac{n \phi A_s S_e S_y}{2(S_e + S_y)}
E indica el momento alternante que produce el fallo a fatiga por el criterio de Soderberg a vida infinita ( 10^6 > ciclos) sobre la tornillería con una carga axial nula.
Esta recta límite, se puede adaptar a los diferentes criterios de fatiga, sustituyendo los momentos alternantes con carga axial nula ( M* ) de cada uno de ellos:
M_{ASME-Elíptica} = \Large \frac{n \phi A_s S_e S_y}{2 \sqrt{(S_e + S_y)}}
M_{Goodman} = \Large \frac{n \phi A_s S_e S_{ut}}{2(S_e + S_{ut})}
M_{Gerber} = \Large \frac{1}{4} \normalsize n \phi A_s S^2_{ut} \left(- \Large \frac{1}{S_e} \normalsize + \Large \sqrt( \frac{1}{S^2_e} \normalsize + \Large \frac{4}{S^2_{ut}}) \right)
Con:
- n : numero de tornillos en la corona
- \phi : diámetro donde se sitúan los tornillos en la corona interior
- A_s : Sección resistente del tornillo
- S_e : Límite de fatiga del tornillo
- S_{ut} : tensión de rotura del tornillo
- S_y : límite elástico del tornillo
De acuerdo con el Eurocódigo 3, la tornillería pretensada tiene dos comprobaciones principales:
- Cálculo a deslizamiento
- Cálculo a tracción
Para uniones pretensadas, la norma clasifica el cálculo a deslizamiento como categoría C y categoría E para el cálculo a tracción.
Deslizamiento
La resistencia de cálculo al deslizamiento ( F_{s,RD} ) de acuerdo con el Eurocódigo 3 debe tomarse como sigue:
F_{s,Rd} = \Large \frac{k_s n \mu (F_{p,C} - 0.8 F_{t,Ed})}{\gamma_{M3}}
Donde:
- k_s : es un parámetro que depende del taladro del tornillo y vale 1 para taladro normalizados.
- n : número de planos de deslizamiento. Normalmente 1 para rodamientos.
- \mu : es el coeficiente de rozamiento obtenido bien mediante ensayos específicos para la superficie de rozamiento o bien según tabla 3.7 cuando proceda.
- F_{p,C} : fuerza de pretensado.
F_{p,C} = 0.7 S_{ut} A_s
Con:
-
-
- S_{ut} : tensión de rotura del tornillo
- A_s : Área resistente del tornillo
-
- F_{t,Ed} : fuerza axial de tracción, que particularizada para el tornillo más solicitado en la unión del rodamiento, queda como:
F_{t,Ed} = \Large \frac{4M}{n \phi} \normalsize + \Large \frac{R_a}{n}
Para más información consultar nuestro prontuario Brida circular atornillada.
- \gamma_{M3} : coeficiente parcial de seguridad que la norma marca como 1.25.
Conocida la resistencia de deslizamiento ( F_{s,Rd} ), el tornillo más solicitado, y por lo tanto la unión, cumplirá a deslizamiento frente al esfuerzo cortante ( F_{v,Ed} ) si:
\Large \frac {F_{s,Rd}} {F_{v,Ed}} \normalsize = \Large \frac {n F_{s,Rd}} {R_v} \normalsize > 1
Donde R_v es la fuerza cortante sobre el rodamiento.
Tracción
La resistencia de cálculo a tracción de acuerdo con el Eurocódigo 3 ( F_{t,Rd} ) debe tomarse como sigue:
F_{t,Rd} = \Large \frac {k_2 S_{ut} A_s} {\gamma_{M2}}
Donde:
- k_2 : es un parámetro que depende de la forma del tornillo que vale 0.9 para los casos en el que el tornillo no es avellanado.
- S_{ut} : tensión de rotura del tornillo
- A_s : área resistente del tornillo
- \gamma_{M2} : coeficiente parcial de seguridad que la norma marca como 1.25
Conocida la resistencia de tracción ( F_{t,Rd} ), el tornillo más solicitado, y por lo tanto la unión, cumplirá a tracción frente al esfuerzo axil ( F_{t,Ed} ) si:
\Large \frac{F_{t,Rd}}{F_{t,Ed}} \normalsize = \Large \frac{n F_{t,Rd}}{R_a} \normalsize >1
Con R_a como el esfuerzo axial de tracción sobre el rodamiento.
Resultados
Se ha estudiado la tornillería de calidades 8.8, 10.9 y 12.9 frente a cargas estáticas y fatiga en el campo de los rodamientos de grandes dimensiones. Se ha desarrollado una herramienta en hoja Excel en la que se recogen los procedimientos para enmarcar los cálculos de fatiga de la tornillería en las gráficas M-Ra del catálogo de Tecma Drive S.L.
Se exponen, a continuación, las gráficas de comportamiento de los tornillos cuando la carga axial es de tracción además de compresión.
