Fatiga

A menudo se encuentra que los elementos de máquinas han fallado bajo la acción de esfuerzos repetidos o fluctuantes; no obstante, el análisis más cuidadoso revela que los esfuerzos máximos reales estuvieron por debajo de la resistencia última del material y con mucha frecuencia incluso por debajo de la resistencia a la fluencia. La característica más notable de estos fallos consiste en que los esfuerzos se repitieron un gran número de veces. Por lo tanto, a este fallo se le llama fallo por fatiga.

La falla por fatiga se debe a la formación y propagación de grietas. Por lo general, una
grieta de fractura se inicia en una discontinuidad del material donde el esfuerzo cíclico es
máximo.

La velocidad y dirección de la propagación de la grieta por fatiga está controlada en forma principal por esfuerzos localizados y por la estructura del material en donde se produjo la grieta. Sin embargo, como en la formación de la grieta, existen otros factores que pueden ejercer una influencia significativa, como el entorno, la temperatura y la frecuencia. Estas grietas crecerán a lo largo de planos normales a los esfuerzos en tensión máximos, proceso que puede explicarse mediante mecanismos de fractura.

Shigley’s Mechanical Engineering Design

En esta sección nos centraremos en el cálculo de la fatiga por medio del método esfuerzo-vida, que trata de extrapolar los resultados obtenidos de las probetas de laboratorio a componentes en aplicaciones reales. Se debe tener en cuenta que si bien, es el que tradicionalmente se ha utilizado en ingeniería, no es de los más exactos por lo que los cálculos obtenidos deben considerarse como una aproximación del comportamiento en la realidad. La única manera de saber con exactitud el comportamiento a fatiga de un elemento es ensayarlo ante las cargas cíclicas a las que va a estar sometido. La formulación expuesta en estos apartados hace referencia a materiales ferrosos (aceros) de los que se sabe que tienen una vida infinita a altos números de ciclos ( $10^6$ ) para una carga determinada. No pasa así en otros materiales como el aluminio que siempre experimenta una curva descendente por lo que se suele dar un valor de carga a fatiga para $5\cdot10^8$ ciclos.

Límite de fatiga (Se)

Estimación del límite de fatiga (Se)

De acuerdo con ensayo de probeta de ensayos de diferentes aceros, se puede estimar el límite de fatiga ( $S_e'$ ) a través del límite último a tensión ( $S_{ut}$ ) como:

$S_e' = \begin{cases} 0.5 S_{ut} &\text{si } S_{ut} \le 200 kpsi \\ 100 kpsi & \text{si } S_{ut} > 200 kpsi \end{cases}$

El límite de fatiga debe modificarse para adaptarse a las condiciones de nuestra aplicación real, por lo que se utiliza la ecuación de Marin que tiene en cuenta diversos factores:

$S_e = k_a \cdot k_b \cdot k_c \cdot k_d \cdot k_e \cdot k_f \cdot S_e'$

Factor de superficie (ka)

Este factor depende del acabado de la calidad del acabado de la superficie del componente y de su resistencia a la tensión.

$k_a = a S_{ut}^b$

Los valores de a y b se encuentran en la siguiente tabla:

Surface finish (Acabado superficial)	Factor a	Exponent b
Ground (Esmerilado)	1.34	-0.085
Machined (Mecanizado)	2.70	-0.265
Cold-drawn (Laminado en frio)	2.70	-0.265
Hot-rolled (Laminado en caliente)	14.4	-0.718
As-forged (Forja)	39.9	-0.995

Factor de tamaño (kb)

Los resultados de flexión y torsión pueden expresarse como:

$k_b = \begin{cases} 0.879d^{-0.107} &\text{para } 0.11 \le d \le 2 in \\ 0.91d^{-0.157} & \text{para } 2 < d \le 10 in \end{cases}$

Para carga axial no hay efecto de tamaño, por lo que:

$k_b = 1$

Para perfiles no circulares rotativos o perfiles estáticos hay que comparar el área que soporta un esfuerzo igual o superior al 95% del esfuerzo máximo con dicha área de la sección circular para despejar un diámetro equivalente (de) que sustituir en las igualdades anteriormente descritas. Para una sección circular o anular rotatoria se tiene que d =de:

$A_{0.95\sigma} = \Large \frac {\pi}{4} \normalsize [d^21 - (0.95d)^2] = 0.0766d^2 = 0.0766d_e^2$

Se adjunta una tabla para secciones de perfiles estructurales:

Sección	A0.95σ	de
Circular o anular estática de diámetro d	0.01046d²	0.370d
Rectangular maciza o hueca rotativa de lados b x h	0.0975hb	1.128(hb)^(½)
Rectangular maciza o hueca estática de lados b x h	0.05hb	0.808(hb)^(½)

Factor de carga (kc)

Cuando se realizan ensayos de fatiga con carga de flexión rotativa, axial y de torsión, los límites de resistencia a la fatiga difieren con Sut.

$k_c = \begin{cases} 1 &\text{flexión } \\ 0.85 & \text{axial } \\ 0.59 & \text{torsión } \end{cases}$

Factor de temperatura (kd)

Cuando las temperaturas de operación son menores que la temperatura ambiente, la fractura frágil es una posibilidad fuerte, por lo que se necesita investigar primero. Cuando las temperaturas de operación son mayores que la temperatura ambiente, primero se debe investigar la fluencia porque la resistencia a ésta disminuye con rapidez con la temperatura.

$k_d = \small 0.975 + 0.432\cdot 10^{-3} T_F - 0.115\cdot 10^{-5} T_F^2 + 0.104\cdot 10^{-8} T_F^3 - 0.595\cdot 10^{-12} T_F^4$

Para 70 ≤ $T_F$ ≤ 1000 ºF

Factor de confiabilidad (ke)

Para tener en cuenta la dispersión de datos. La mayoría de estos datos se comportan como valores medios con una desviación estándar del 8%. A continuación, se muestra una tabla donde se relaciona la confiabilidad con el factor de confiabilidad ke.

Confiabilidad (%)	ke
50	1
90	0.897
95	0.868
99	0.814
99.9	0.753
99.99	0.702
99.999	0.659
99.9999	0.620

Factor de efectos varios (kf)

Aunque el factor kf tiene el propósito de tomar en cuenta la reducción del límite de resistencia a la fatiga debida a todos los otros efectos, en verdad significa un recordatorio que estos efectos se deben tomar en cuenta, porque los valores reales de kf no siempre están disponibles.

Alguno de estos factores que pueden ser determinantes en el límite de fatiga son:

Esfuerzos residuales

Corrosión

Recubrimientos electrolíticos

Metalizado por aspersión

Frecuencia cíclica

Corrosión por frotamiento

Gráficas S-N

Tradicionalmente los ensayos de fatiga y posteriormente las extrapolaciones para componentes en aplicaciones reales se han representado en graficas S-N en el plano logarítmico.

Hay que mencionar que estar gráficas solo son válidas para un único esfuerzo completamente invertido, esto es, fluctúa de un máximo a un mínimo con media igual a cero, por lo que el máximo y el mínimo son iguales y de signo contrario.

Gráficas S-N

Las dos pendientes negativas siguen la siguiente ecuación:

S_f = a N^b

N = \left( \Large \frac{S_f}{a} \right)^{\large \frac{1}{b}}

Donde el factor "a" y el exponente "b" toman los siguientes valores:

Para la primera pendiente:

a = S_{ut}

b = - \Large \frac{1}{3}\normalsize \log \left(\Large \frac{1}{f} \right)

Y para la segunda pendiente:

a = \Large \frac{(f S_{ut})^2}{S_e}

b = - \Large \frac{1}{3}\normalsize \log \left(\Large \frac{(f S_{ut})^2}{S_e} \right)

Donde

f

es una fracción de

S_{ut}

f = \Large \frac {\sigma_F'}{S_{ut}} \normalsize (2\cdot 10^3)^c

Con la aproximación SAE para aceros con $H_B \le$ 500:

$\sigma_F' = S_{ut} + 50 kpsi$

Y con b:

$c = - \Large \frac {log (\sigma_F' / S_{e}')}{log (2\cdot 10^6)}$

Donde $S_e'$ es el límite de fatiga sin modificar.

Concentraciones de esfuerzos (Kf)

La existencia de irregularidades o discontinuidades, como orificios, ranuras o muescas incrementa de manera significativa los esfuerzos teóricos en la vecindad inmediata de la discontinuidad. Este incremento que se define por el factor de concentración del esfuerzo (Kt), se relaciona con su homologo en el análisis de la fatiga (Kf) a través de la ecuación de Neuber:

$K_f = 1+ \Large \frac {K_t - 1}{1 + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{r}}}$

Donde $\sqrt {a}$ es la constante de Neuber cuyo valor para esfuerzos flectores y axiales es:

$\sqrt{a} = 0.246 - 3.08 \cdot 10^{-3} S_{ut} + 1.51 \cdot 10^{-5} S_{ut}^2 - 2.67 \cdot 10^{-8} S_{ut}^3$

Y para torsión:

$\sqrt{a} = 0.190 - 2.51 \cdot 10^{-3} S_{ut} + 1.35 \cdot 10^{-5} S_{ut}^2 - 2.67 \cdot 10^{-8} S_{ut}^3$

Donde las ecuaciones se aplican al acero, $S_{ut}$ está en kpsi y r es el radio de la muesca en pulgadas (in)

A continuación se exponen tablas de valores teóricos del factor de concentración (Kt).

Concentration-factors-Kt

Esfuerzos fluctuantes

A menudo los esfuerzos fluctuantes sobre la maquinaria adoptan la forma de un patrón sinusoidal debido a la naturaleza de algunas máquinas rotatorias. Sin embargo, también ocurren otro tipo de patrones, algunos muy irregulares. Se ha determinado que en los patrones periódicos que presentan sólo un máximo y sólo un mínimo de la fuerza, la forma de la onda no resulta fundamental, pero los picos en el lado alto (máximo) y en el lado bajo (mínimo) son importantes.

Esfuerzos fluctuantes

$\sigma_{min}$ = esfuerzo mínimo

$\sigma_{max}$ = esfuerzo máximo

$\sigma_{m}$ = componente de esfuerzo medio

$\sigma_{a}$ = componente de la amplitud

$\sigma_{r}$ = intervalo de esfuerzo

$\sigma_m = \Large \frac {\sigma_{max} + \sigma_{min}}{2}$

$\sigma_a = \Large | \frac {\sigma_{max} - \sigma_{min}}{2}|$

Criterios de fallos por fatiga

Los criterios que a continuación se exponen son representativos para materiales dúctiles con zonas de fluencias. Para aceros frágiles, como por ejemplo las fundiciones, siguen el modelo cóncavo y ascendente de Smith-Dolan.

Criterios de fatiga

Soderberg

$\Large \frac{S_a}{S_e}\normalsize + \Large \frac{S_m}{S_y} \normalsize = 1$

Goodman modificado

$\Large \frac{S_a}{S_e}\normalsize + \Large \frac{S_m}{S_{ut}} \normalsize = 1$

Gerber

$\Large \frac{S_a}{S_e}\normalsize + \Large (\frac{S_m}{S_{ut}})\normalsize^2 = 1$

ASME-elíptica

$\Large (\frac{S_a}{S_e})\normalsize^2 + \Large (\frac{S_m}{S_y})\normalsize^2 = 1$

Fluencia estática de Langer

$S_a+ S_m = S_y$

Los dos criterios más utilizados son el de Gerber y ASME-elíptica. Se sigue conservando los de Sorderberg y Goodman por su simplicidad ya que ambos describen una recta. También se incorpora el criterio de Langer que describe caso estático.

Los criterios de fallos se utilizan en conjunto con la línea de carga $r = S_a/S_m = \sigma_a/\sigma_m$

Se expone a continuación la intersección del criterio de Gerber y ASME-elíptica con la línea de carga (r), junto con su coeficiente de seguridad (nf):

Gerber

$S_a = \Large \frac{r^2S_{ut}^2}{2S_e} \left [\normalsize-1+\sqrt{1+ \left(\Large \frac{2S_e}{r S_{ut}} \right)^2} \right]$

$S_m = \Large \frac{S_a}{r}$

$n_f = \Large \frac{1}{2} \normalsize \left( \Large \frac{S_{ut}}{S_m} \right)^2 \Large \frac{S_{a}}{S_e} \normalsize \left[ -1+\sqrt{1+ \left(\Large \frac{2 S_m S_e}{S_a S_{ut}}\right)^2}\right]$

ASME-elíptica

$S_a = \sqrt{\Large \frac{r^2 S_e^2 S_y^2 }{S_e^2 + r^2 S_y^2}}$

$S_m = \Large \frac{S_a}{r}$

$n_f = \sqrt{\Large \frac{1}{(S_a / S_e)^2 + (S_m / S_y)^2}}$

Esfuerzos fluctuantes y variables

Cuando se tienen esfuerzos fluctuantes y variables es muy importante identificar todos los ciclos de la serie temporal, ya que algunos de ellos pueden estar escondidos. Podemos ver en la figura la identificación de 3 ciclos que se repiten a lo largo del tiempo. Cuando inicialmente se habían definido dos, el desplazamiento en tensiones del primero con respecto el segundo encuentra un ciclo escondido de magnitud mayor que los otros dos previos que se será el determinante para el cálculo a fatiga.

Esfuerzo fluctuante y variable

Se expone a continuación los parámetros de tensiones de estos tres ciclos:

nº cycle	σmax	σmin	σa	σm	r = σa/σm
1	80	-60	70	10	7
2	60	40	10	50	0.2
3	-20	-40	10	-30	-0.333

La contribución a la fatiga de cada uno de estos ciclos (ni) debe ser calculado individualmente, ponderándose a través de un numero de ciclos equivalente (Neq) en la formulación de Miner del daño acumulado (D).

$D = \sum_{i=1}^n N_{eq} \left(\Large \frac{1}{n_i} \right)$

En la formulación de Miner, se produce el fallo a fatiga cuando el daño acumulado (D) es mayor o igual a 1.

Combinaciones de carga

Cuando se tienen esfuerzos axiales, flectores y torsores, se calcula la tensión de Von Mises para $\sigma_{m}'$ y $\sigma_{a}'$ como:

$\sigma_m' = \sqrt{ \left[ (K_f)_{fl} (\sigma_m)_{fl} + (K_f)_{ax} (\sigma_m)_{ax} \right]^2 +3 \left[ (K_f)_{tor} (\tau_m)_{tor} \right]^2 }$

$\sigma_a' = \sqrt{ \left[ (K_f)_{fl} (\sigma_a)_{fl} + (K_f)_{ax} (\sigma_a)_{ax} \right]^2 +3 \left[ (K_f)_{tor} (\tau_a)_{tor} \right]^2 }$

Una vez calculadas las tensión de Von Mises $\sigma_{m}'$ y $\sigma_{a}'$ , se pueden introducir en los criterios de fatiga ya definidos:

Si las componentes de l esfuerzo no están en fase pero tienen la misma frecuencia , los máximos pueden encontrarse expresando cada componente en términos trigonométricos, usando ángulos de fase, y después calculando la suma. Si dos o más componentes de esfuerzos tienen diferentes frecuencias, el problema es difícil; una solución es suponer que las dos (o más componentes) alcanzan frecuentemente una condición de fase, de manera que sus magnitudes sean aditivas

Daño acumulado

Una vez que un componente ha recibido un daño por fatiga sin llegar al fallo, su curva S-N debe ser modificada de acuerdo con el daño restante que es capaz de seguir recibiendo.

En la gráfica del ejemplo puede verse la curva S-N de un componente (curva continua) y su modificación (curva discontinua) después de la aplicación de una carga invertida de

\sigma_1

= 60 kpsi con un número de ciclos de

3 \cdot 10^3

Daño acumulado

Como no se producen números de ciclos suficientes (

N_1

) para producirse el daño a fatiga, el componente puede seguir resistiendo a fatiga pero su curva debe ser modificada ya que ha acumulado el daño de la carga descrita.

Para ello se traza una nueva recta descendente a través del punto

(N_1-n_1, \sigma_1)

hasta el nuevo limite a fatiga

S_{e,1}'

10^6

ciclos.

Esta modificación cambia el nivel del limite de fatiga del componente de manera que ya no es capaz de soportar la misma carga a a tiempo infinito.

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