En nuestro post Esfuerzos de tracción en tornillería pretensada vimos como una precarga sobre tornillos de alta resistencia se reparte entre el propio tornillo y los elementos de unión. La rigidez de estas dos partes interviene en dicho reparto siendo más alto cuanto más alta es esta rigidez.

Si bien el cálculo de la rigidez del tornillo no es complicado debido a que se puede simular a la de un cilindro de longitud igual al espesor de los elementos que une, la rigidez de dichos elementos de unión no es fácil, recurriéndose a simulaciones mediante elementos finitos o modelos extraídos de estas simulaciones que aproximan esta rigidez.

Esta constante es la que corresponde a un elemento cilíndrico de diámetro resistente ( d ), con una longitud efectiva de abroche L , dada por el espesor de los elementos de unión, sometido a un esfuerzo de tracción ( \sigma ) producido por una fuerza ( F ) y conformado por un material que posee un módulo de elasticidad ( E )

F = \sigma A

\sigma = E  \epsilon = E  \Large \frac{\delta_b}{L}

A = \Large \frac{\pi d^2}{4}

F = E  \Large \frac {\delta_b}{L}\normalsize A = K_b  \delta_b

K_b = \Large \frac{E  A}{L}\normalsize = \Large \frac{E \pi d^2}{4L}

Donde:

• F : fuerza de tracción
• \sigma : tensión normal de tracción
• A : sección del tornillo
• E : módulo de elasticidad
• \epsilon : deformación unitaria
• \delta_b : deformación del tornillo
• L : longitud de abroche del tornillo
• d : diámetro resistente del tornillo
• K_b: constante de rigidez del tornillo

El conjunto de piezas a unir puede considerarse como muelles de diferente rigidez dispuestos en serie, por lo que la constante de rigidez total ( K_c ) puede determinarse como:

\Large \frac {1}{K_c} \normalsize = \Large \frac {1}{K_1} \normalsize + \Large \frac {1}{K_2} \normalsize +...+ \Large \frac {1}{K_i} \normalsize +...+\Large \frac {1}{K_n} \normalsize

Si uno de los elementos de unión posee una rigidez ( K_J ) sentiblemente menor que las demás, como pasaría en el caso de una junta entre dos elementos metálicos, la rigidez de la unión de dependería principalmente de ésta, despreciando las demás:

\Large \frac{1}{K_c}\normalsize \approx \Large \frac{1}{K_J}

Estas constantes se obtienen por experimentación, debido a que la compresión de estos elementos se extiende progresivamente desde la cabeza del tornillo a la base de la tuerca, por lo que el área de compresión no es uniforme.

Debido a esto, se utilizan modelos sencillos que tienen rigidez elástica equivalente aproximada a los observados experimentalmente.

Basado en técnicas de ultrasonido de detección de perfiles de deformación en uniones atornilladas, propone el uso de la rigidez elástica de un cono hueco truncado con ángulo \alpha .

Cuando no se tienen valores de dicho ángulo \alpha , se suele tomar un valor de 26.5651º, para obtener una tangente de 0.5.

Se suele utilizar en uniones con juntas intermedias de sellado, colocando los tornillos a una distancia en la que los conos se intersecan en el plano de dicha junta para garantizar la compresión de la misma a lo largo de toda la unión.

El área ( A_M ) a lo largo del espesor de la pieza de unión es:

A_M(x) = \Large \frac{\pi}{4}\normalsize \left[ d(x)^2-d_0^2 \right]

Donde:

d(x) = \begin{cases} 2x\tan\alpha+d_w & \forall x \in [0, \frac{L}{2}]  \\ -2x\tan\alpha+d_w+2L\tan\alpha & \forall x \in [\frac{L}{2}, L] \end{cases}

Siendo:

• d_0 : diámetro del agujero para el tornillo
• d_w : la distancia entre caras de la cabeza del tornillo

La rigidez ( K_i ) para un elemento de espesor comprendido entre las distancias l_{i-1} y l_i en el intervalo [0, \frac{L}{2}] , será:

dK_i = \Large \frac{E A_M(x)}{dx}

\Large \frac{1}{dK_i}\normalsize = \Large \frac{dx}{E A_M(x)}

\Large \frac{1}{K_i}\normalsize = \large \int_{l_{i-1}}^{l_i} \Large \frac{dx}{E \frac{\pi}{4} [d(x)^2-d_0^2]}

\Large \frac{1}{K_i}\normalsize =\Large \frac{4}{E\pi} \large \int_{l_{i-1}}^{l_i} \Large \frac{dx}{(2x\tan\alpha+d_w)^2-d_0^2}

\Large \frac{1}{K_i}\normalsize =\Large \frac{4}{E\pi} \large \int_{l_{i-1}}^{l_i} \Large \frac{dx}{4x^2\tan^2\alpha+4xd_w\tan\alpha-d_0^2}

\Large \frac{1}{K_i}\normalsize =\Large \frac{4}{E\pi} \large \int_{l_{i-1}}^{l_i} \Large \frac{dx}{Ax^2+Bx+C}

Donde:

A = 4\tan^2\alpha

B = 4d_w\tan\alpha

C = d_w^2-d_0^2

D = \sqrt {B^2-4AC}

Y sabiendo que, para A \neq 0 y D > 0 :

\large \int \Large \frac{dx}{Ax^2+Bx+C} \normalsize = \Large \frac{1}{D}\normalsize \ln \Large \left[ \frac{2Ax+B-D}{2Ax+B+D}\right] \normalsize + Cte

Tenemos que :

K_i = \Large \frac{E\pi D}{4 \ln \Large \left[ \frac{(2 A l_i + B-D)(2 A l_{i-1}+B+D)}{(2Al_i+B+D)(2Al_{i-1}+B-D)} \right]}

Análogamente, se tiene la misma expresión de la constante de rigidez para un elemento de la unión en el intervalo [\frac{L}{2}, L] donde:

A = 4\tan^2\alpha

B = 4(d_w + 2L\tan\alpha)\tan\alpha

C = (d_w + 2L\tan\alpha)^2-d_0^2

D = \sqrt {B^2-4AC}